materi dan soal beserta pembahasannya kelas 11 semester 1 program linear, matriks, transformasi.

Program Linear Program linear atau biasa disenut juga sebagai optimasi linear merupakan suatu program yang bisa dipakai untuk memecahkan masalah mengenai optimasi. Di dalam masalah optimasi linear, batasan-batasan atau kendala-kendalanya bisa kita terjemahkan ke dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Nilai-nilai peubah yang memenuhi suatu system pertidaksamaan linear berada pada suatu himpunan penyelesaian yang mempunyai beragam kemungkinan penyelesaian. Dari beragami kemungkinan penyelesaian tersebut terdapat sebuah penyelesaian yang memberikan hasil paling baik (penyelesaian optimum). Jadi dapat disimpulkan bahwa tujuan dari masalah optimasi linear adalah untuk mengoptimumkan (memaksimalkan atau meminimumkan) sebuah fungsi f. Fungsi f ini disebut dengan fungsi sasaran, fungsi tujuan, atau fungsi objektif. Masalah optimasi linear seperti yang telah dijelaskan di atas banyak dijumpai dalam bidang produksi barang, distribusi barang, dalam bidang ekonomi, dan bidang-bidang lainnya yang termasuk ke dalam kajian riset operasional. Pengertian Model Matematika Sudah dijelaskan di atas bahwa dalam memecahkan masalah program linear kita harus bisa menerjemahkan terlebih dahulu mengenai kendala-kendala yang terdapat di dalam masalah program linear ke dalam bentuk perumusan matematika. Proses tersebut adalah yang dinamakan dengan model matematika. Model matematika dapat didefinisikan sebagai suatu rumusan matematika yang diperoleh dari hasil penafsiran seseorang ketika menerjemahkan suatu masalah program linear ke dalam Bahasa matematika. Suatu model matematika dikatakan baik apabila di dalam model tersebut hanya memuat bagian-bagian yang diperlukan saja. 1.Sistem Persamaan Linear. Sistem persamaan linear adalah kumpulan dari lebih dari satu persamaan linear yang dapat membentuk terhingga banyaknya solusi, tak hingga banyaknya solusi atau tidak mempunyai solusi. Penyelesaian dari sistem persamaan linear (SPL) yang melibatkan dua variabel atau tiga variabel dapat di lakukan dengan salah satu metodea atau gabungan metode berikut: a. Metode grafik, jika SPL tersebut mempunyai terhingga penyelesaian, maka hasil penyelesaian adalah koordinat dari perpotongan dari kedua garis tesebut b. Metode Substitusi,dengan cara mendefinisikan salah satu variabel yang ada dalam salah satu persamaan kemudain menggati variabel yang telah telah didefinnisikan tersebut pada persamaan linear yang lain c. Metode Eliminasi,dengan melakukan opersi penjumlahan atau pengurangan pada kedua persamaan linear dengan tujuan menghilangkan (mengeliminasi) salah satu variael yang koefisiennya sama atau telah disamakan. d. Metode gabungan eliminasi dan substitusi dengan cara menggabukan melakukan eliminasi terlebih dahulu, kemuadian melanjutkan dengan melakukan substitusi atau sebaliknya. e. Metode determinan matriks yaitu dengan menggunakan rumus determinan matriks untuk menentukan nilai dari variabel x, y dan z Catatan: Penyelesaian SPL tiga variabel adalah dengan mengubah bentuk SPL tiga variabel menjadi bentuk SPL dua variabel me lalui eliminasi salah satu variabel lalu di lanjutkan dengan substitusi dua variabel pada SPL dua variabel yang dihasilkan ke salah satu persamaan linear tiga variabel PROGRAM LINIER a. Menyelesaikan masalah program linear Program linear adalah suatu metode yang digunakan untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan optimasi linear (nilai maksimum dan nilai minimum) Program linear tidak lepas dengan sistem pertidaksamaan linear. Khususnya pada tingkat sekolah menengah, sistem pertidaksamaan linear yang dimaksud adalah sistem pertidaksamaan linear dua variabel. b.Daerah himpunan penyelesaian penyelesaikan program linear sangat terkait dengan kemampuan melakukan sketsa daerah himpunan penyelesaian sistem. Berikut ini adalah teknik menentukan daerah himpunan penyelesaian 1) Buat sumbu koordinat kartesius 2) Tentukan titikpotong pada sumbu x dan y dari semua persamaan-persamaan linearnya. 3) Sketsa grafiknya dengan menghubungkan antara titik-titik potongnya. 4) Pilih satu titik uji yang berada di luar garis. 5) Substitusikan pada persamaan 6) Tentukan daerah yang dimaksud Nilai Optimum Fungsi Objektif Fungsi objektif merupakan fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada merupakan titik-titik dalam diagram cartesius yang jika koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan. Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear dapat ditentukan dengan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya dapat ditentukan letak titik yang menjadi nilai optimum. Langkah-langkahnya sebagai berikut : • Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada di cartesius. • Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut merupakan himpunan penyelesaian dari batasannya dan memeliki kemungkinaan besar membuat fungsi menjadi optimum. • Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara yaitu : o Menggunakan garis selidik o Membandingkan nilai fungsi objektif tiap titik ekstrim Menggunakan Garis Selidik Garis selidik diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by dimana garis selidiknya adalah ax + by = Z Nilai Z diberikan sembarang nilai. Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dibuat. Garis selidik awal dibuat di area himpunanan penyelesaian awal. Kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal. Berikut pedoman untuk mempermudah penyelidikian nilai fungsi optimum : Cara 1 (syarat a > 0) • Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum. Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum. Cara 2 (syarat b > 0) • Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum. • Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum. Untuk nilai a < 0 dan b < 0 berlaku kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas. Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari garis-garis batas yang ada. Titik-titip potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum di salah satu titiknya. Berdasarkan titik-titik tersebut ditentukan nilai masing-masing fungsinya, kemudian dibandingkan. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil merupakan nilai minimum. Contoh Soal 1. Tentukan nilai minimum f(x, y) = 9x + y pada daerah yang dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7. Pembahasan 1: • Langkah 1 menggambar grafiknya • Langkah 2 menentukan titik ekstrim Dari gambar, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir. • Lankah 3 menyelidiki nilai optimum Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan. Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18 2. Tentukan dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini! Pembahasan 2: Titik ekstrim pada gambar adalah: • A tidak mungkin maksimum karena titik paling kiri. • B(3, 6) • C(8, 2) • D(8, 0) Nilai tiap titik ekstrim adalah: • • • Sehingga nilai maksimum ada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42. 3. Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum. Pembahasan 3: Diketahui: Dengan syarat: • Kapasitas tempat: x + y ≤ 400 • Modal: 4.000x + 1.600y ≤ 1.000.000 • x ≥ 0 • y ≥ 0 Diagramnya: Titik ekstrim: • A(0, 400) bukan optimum karena tidak ada apel • C(250, 0) bukan optimum karena tidak ada pisang • dengan metode eliminasi 2 persamaan diatas diperoleh: Sehingga jumlah masimum: • Apel: 150 kg • Pisang: 250 kg 4. Tentukan model matematika dari soal di bawah. Sebuah adonan roti basah dibuat dengan 2 kg tepung dan 1 kg gula. Sedangkan sebuah adonan roti kering dibuat menggunakan 2 kg tepung dan 3 kg gula. Ibu memiliki persediaan tepung sebanyak 6 kg dan gula sebanyak 5 kg. Jika setiap satu adonan kue basah dapat memberikan untung Rp75.000,00 dan setiap adonan kue kering dapat memberikan untung Rp60.000,00, berapakah banyak kombinasi adonan roti yang dapat dibuat untuk mendapatkan keuntungan maksimal? Pembahasan Misalkan: x = adonan roti basah y = adonan roti kering Perhatikan tabel di bawah. Luas daerah parkir . Luas rata-rata sebuah mobil dan luas rata-rata bus . Daerah parkir tersebut dapat memuat paling banyak 30 kendaraan roda empat (mobil dan bus). Jika tarif parkir mobil Rp2000,00 dan tarif parkir bus Rp5000,00 maka pendapatan terbesar yang dapat diperoleh adalah …. (Soal Ujian Nasional) A. Rp40.000,00 B. Rp50.000,00 C. Rp60.000,00 D. Rp75.000,00 E. Rp90.000,00 Pembahasan: Misalkan: x = banyak mobil x = banyak bus Perhatikan tabel di bawah! Diperoleh dua persamaan: Menentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan: Akan ditentukan nilai maksimum dengan metode titik sudut. Titik koordinat O, A, dan C dapat diperoleh dengan melihat gambar, yaitu O(0,0), A(0, 15), dan C(30,0). Untuk koordinat B dapat diperoleh dengan menggunakan eliminasi dan substitusi. Substitusi nilai y = 10 pada persamaan x + y = 30 untuk mendapatkan nilai x. Koordinat titik B adalah (20, 10) Perhitungan keuntungan maksimal yang dapat diperoleh: Jawaban: E 5. Biaya produksi satu buah payung jenis A adalah Rp20.000,00 per buah, sedangkan biaya satu buah produksi payung jenis B adalah Rp30.000,00. Seorang pengusaha akan membuat payung A dengan jumlah tidak kurang dari 40 buah. Sedangkan banyaknya payung jenis B yang akan diproduksi minimal adalah dari 50 buah. Jumlah maksimal produksi kedua payung tersebut adalah 100 buah. Biaya minimum yang dikeluarkan untuk melakukan produksi kedua payung sesuai ketentuan tersebut adalah …. A. Rp2.000.000,00 B. Rp2.300.000,00 C. Rp2.200.000,00 D. Rp2.100.000,00 E. Rp2.000.000,00 Pembahasan: Pemisalan: x = banyak payung A y = banyak payung B Model matematika dari permasalahan tersebut adalah: Daerah penyelesaian yang memenuhi permasalahan: Nilai minimim akan diperoleh melalui titik koordinat yang dilalui garis selidik yang pertama kali, yaitu titik A(40, 50). Sehingga, biaya produksi minimum adalah Jawaban: B 6. Mas Bejo membeli 6 buku tulis dan 8 pensil di suatu toko buku. Untuk itu Mas Bejo harus membayar Rp.6.900. Sedangkan Bang Jarwo hanya membeli 1 buah buku tulis dan 1 buah pensil dengan harga Rp.1.050. apabila harga dari sebuah buku rupiah dan sebuah pensil dinyatakan dengan x dan y, buatlah model matematika dari permasalahan tersebut! Jawab: Berdasarkan jumlah uang yang dibayar oleh Mas Bejo, didapat hubungan: 6x + 8y = 6.900 Berdasarkan jumlah uang yang dibayar oleh Bang Jarwo, didapat hubungan: x+ y = 1.050 Maka model matematikanya adalah: 6x + 8y = 6.900 dan x + y = 1.050 dengan x dan y ε C 7. seorang siswa memilih jurusan IPA, jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut: a.) Jumlah nilai Matematika dan Fisika tidak boleh kurang dari 12 b.) Nilai masing-masing pada pelajaran tersebut tidak boleh kurang dari 5 Buatlah model matematika yang bisa digunakan sebagai patokan agar seorang siswa bisa memilih jurusan IPA! Jawab: Kita misalkan nilai matematika = x dan nilai fisika = y , maka dari syarat a.) diperoleh hubungan: x + y ≥ 12 Dan dari syarat b.) diperoleh hubungan: x ≥ 5 dan y ≥ 5 maka, model matematika yang dapat digunakan untuk patokan agar seorang siswa bisa memilih jurusan IPA adalah: x ≥ 5 dan y ≥ 5, dan x + y ≥ 12 ε C 8. Sebuah lahan parker hanya dapat menampung 200 mobil sedan. Apabila tempat tersebut digunakan untuk memarkir Bis, maka 1 Bis akan menempati luas yang sama dengan 5 buah mobil sedan. Apabila di lahan tersebut diparkir x Bis dan y Sedan, tentukanlah model matematikanya! Jawab: Misalkan untuk memarkir sebuah mobil sedan diperlukan luas rata-rata L m2, maka luas lahan parker yang tersedia adalah 200L m2 (L > 0). Untuk memarkir sebuah Bis diperlukan lahan seluas 5L m2 , Sehingga untuk memarkir x Bis dan y Sedan diperoleh hubungan: (5L)x + (L)y ≤ 200 5x + y ≤ 200 Karena banyajnya mobil Bis dan Sedan tidak mungkin negatif, sehingga: x ≥ 0 dan y ≥ 0 sehingga model matematika untuk persoalan di atas adalah: x ≥ 0 , y ≥ 0 dan 5x + y ≤ 200, dengan x dan y soal-soal 15 soal + pembahasan 1. Daerah mana yang diarsir di bawah ini adalah daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan. Nilai maksimum fungsi objektif (3x + 5y) pada daerah penyelesaian tersebut ... a. 30 b. 26 c. 24 d. 21 e. 18 PEMBAHASAN: Perhatikan gambar: - Persamaan garis p = 6x + 4y = 24 atau 3x + 2y = 12 - Persamaan garis q = 4x + 6y = 24 atau 2x + 3y = 12 Titik potong garis p dan q adalah: subtitusikan y = 12/5 dalam 2x + 3y = 12: 2x + 3.12/5 = 12 2x = 12 – 36/5 2x = 60/5 – 36/5 2x = 24/5 x = 24/10 = 12/5 .... titik B (12/5, 12/5) Nilai dari fungsi obyektif 3x + 5y adalah: - Titik A (0, 6) 3x + 5y = 3.0 + 5. 6 = 30 - Titik B (12/5, 12/5) 3x + 5y = 3.12/5 + 5.12/5 = 36/5 + 60/5 = 96/5 = 19,2 - Titik C (6, 0) 3x + 5y = 3.6 + 5.0 = 18 Jadi, nilai minimumnya adalah 18 JAWABAN: E 2. Nilai maksimum dari z = -3x + 2y yang memenuhi syarat 3x + y ≤ 9, 5x + 4y ≥ 20, x ≥ 0 adalah ... a. 10 b. 14 c. 18 d. 20 e. 24 PEMBAHASAN: - 3x + y ≤ 9 Jika x = 0, maka y = 9 .... (0, 9) Jika y = 0, maka x = 3 .... (3, 0) - 5x + 4y ≥ 20 Jika x = 0, maka y =5 ..... (0, 5) Jika y = 0, maka x = 4 .... (4, 0) Kita cari daerah hasilya dengan menggambarnya: Kita cari dulu titik potong kedua garis di titik B: subtitusikan x = 16/7 dalam 3x + y = 9 3.16/7 + y = 9 48/7 + y = 9 y = 9 – 48/7 y = 63/7 – 48/7 y = 15/7 ... titik B (16/7, 15/7) Kita cari nilai dari fungsi obyektif z = -3x + 2y: - Pada titik A (0, 9) -3x + 2y = -3.0 + 2.9 = 18 - Pada titik B (16/7, 15/7) -3x + 2y = -3.16/7 + 2.15/7 = -48/7 + 30/7 = -18/7 - Pada titik C (0, 5) -3x + 2y = -3.0 + 2.2 = 4 Jadi, nilai maksimumnya adalah 18. JAWABAN: C 3. Dalam sistem pertidaksamaan: 2y ≥ x : y ≤ 2x; 2y + x ≤ 20; x + y ≥ 9. Nilai maksimum untuk 3y – x dicapai di titik ... a. P b. Q c. R d. S e. T PEMBAHASAN: Kita cari dulu titik potong-titik potong pada soal di atas: - Titik P P adalah perpotongan dari x + y = 9 dan 2y = x, maka subtitusikan saja: 2y + y = 9 3y = 9 y = 3 maka x = 2y = 6 ... titik P (6, 3) Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.3 – 6 = 3 - Titik Q Q adalah perpotongan dari x + y = 9 dan y = 2x, maka subtitusikan saja: x + 2x = 9 3x = 9 x =3 dan y = 2x = 6 ... titik Q(3, 6) Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.6 – 3 = 15 - Titik R R adalah perpotongan dari 2y + x = 20 dan y = 2x, maka subtitusikan saja: 2.2x + x = 20 5x = 20 x = 4 dan y = 2x = 8 ... titik R (4, 8) Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.8 – 4 = 20 - Titik S S adalah perpotongan dari 2y + x = 20 dan 2y = x, maka subtitusikan saja: x + x = 20 2x = 20 x = 10 dan 2y = x, maka y = 5 ... titik S (10, 5) Nilai obyektifnya: 3y – x = 3.5 – 10 = 5 Maka, nilai maksimumnya adalah 20 di titik R JAWABAN: C 4. Nilai minimum dari -2x + 4y + 6 untuk x dan y yang memenuhi 2x + y – 20 ≤ 0, 2x – y + 10 ≥ 0, x + y – 5 ≤ 0, x – 2y – 5 ≤ 0, x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah ... a. -14 b. -11 c. -9 d. -6 e. -4 PEMBAHASAN: - 2x + y – 20 ≤ 0 atau 2x + y = 20 Untuk x = 0, maka y = 20 ... (0, 20) Untuk y = 0, maka x = 10 .... (10, 0) - 2x – y + 10 ≥ 0 atau 2x – y = -10 Untuk x = 0, maka y = 10 ... (0, 10) Untuk y = 0, maka x = -5 .... (-5, 0) - x + y – 5 ≤ 0 atau x + y = 5 Untuk x = 0, maka y = 5 ... (0, 5) Untuk y = 0, maka x = 5 .... (5, 0) - x – 2y – 5 ≤ 0 atau x – 2y = 5 Untuk x = 0, maka y = -2,5 ... (0, -2,5) Untuk y = 0, maka x = 5 .... (5, 0) Kita cari daerah hasilnya dengan menggambarnya: - titik A adalah titik potong antara 2x – y = -10 dan 2x + y = 20 maka titik potongnya: 2x + 15 = 20 2x = 5 x = 5/2 ... titik A (5/2, 15) Maka nilai dari fungsi obyektif -2x + 4y + 6 adalah -2.5/2 + 4.15 + 6 = -5 + 60 + 6 = 61 - titik B adalah titik potong antara x – 2y = 5 dan 2x + y = 20 maka titik potongnya: 2x + 2 = 20 2x = 18 x = 9 ... titik B (9, 2) Maka nilai dari fungsi obyektif -2x + 4y + 6 adalah -2.9 + 4.2 + 6 = -18 + 8 + 6 = -4 - titik C (5, 0) Maka nilai dari fungsi obyektif -2x + 4y + 6 adalah -2.5 + 4.0 + 6 = -10 + 0 + 6 = -4 - titik D (0, 5) Maka nilai dari fungsi obyektif -2x + 4y + 6 adalah -2.0 + 4.5 + 6 = 0 + 20 + 6 = 2 - titik E (0, 15) Maka nilai dari fungsi obyektif -2x + 4y + 6 adalah -2.0 + 4.15 + 6 = 0 + 60 + 6 = 66 Sehingga, nilai minimalnya adalah -4 JAWABAN: E 5. Nilai minimum f(x, y) = 3 + 4x – 5y untuk x dan y yang memenuhi –x + y ≤ 1, x + 2y ≥ 5 dan 2x + y ≤ 10 adalah ... a. -19 b. -6 c. -5 d. -3 e. 23 PEMBAHASAN; - –x + y = 1 Jika x = 0, maka y = 1 ... (0, 1) Jika y = 0, maka x = -1 ... (-1, 0) - x + 2y = 5 jika x = 0, maka y = 5/2 ... (0, 5/2) jika y =0, maka x = 5 ... (5, 0) - 2x + y = 10 Jika x = 0, maka y = 10 ... (0, 10) Jika y = 0, maka x = 5 ... (5, 0) Mari kita gambar daerah hasilnya: - Titik A adalah titik potong antara –x + y = 1 dan 2x + y = 10, maka titik potongnya: 2.3 + y = 10 6 + y = 10 y = 4 ... titik A (3, 4) Maka, nilai obyektif fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.3 – 5.4 = 3 + 12 – 20 = -5 - Titik B adalah titik potong antara –x + y = 1 dan x + 2y = 5, maka titik potongnya: x + 2.2 = 5 x + 4 = 5 x =1 ... titik B (1, 2) Maka, nilai obyektif fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.1 – 5.2 = 3 + 4 – 10 = -3 - Titik C (5, 0) Maka, nilai obyektif fungsi f(x, y) = 3 + 4x – 5y adalah: 3 + 4.5 – 5.0 = 3 + 20 – 0 = 23 Jadi, nilai minimum fungsi adalah -5 JAWABAN: C 6. Fungsi F = 10x + 15y dengan syarat x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 800, y ≤ 600, dan x + y ≤ 1000 mempunyai nilai maksimum ... a. 9.000 b. 11.000 c. 13.000 d. 15.000 e. 16.000 PEMBAHASAN: - x = 800 - y = 600 - x + y = 1000 jika x = 0, maka y = 1000 ... (0, 1000) jika y = 0, maka x= 1000 ... (1000, 0) Yuk, kita gambar daerah hasilnya: - titik A adalah titik potong antara y = 600 dan x + y = 1000, maka titik A adalah: x + 600 = 1000 x = 400 ... titik A (400, 600) Maka nilai obyektif F = 10x + 15y adalah: 10.400 + 15.600 = 4000 + 9000 = 13.000 - titik B (0, 600) Maka nilai obyektif F = 10x + 15y adalah: 10.0 + 15.600 = 0 + 9000 = 9.000 - titik C adalah titi potong antara x = 800 dan x + y = 1000, maka titik C adalah: 800 + y = 1000 y = 200 .... titik C (800, 200) Maka nilai obyektif F = 10x + 15y adalah: 10.800 + 15.200 = 8000 + 3000 = 11.000 - titik D (800, 0) Maka nilai obyektif F = 10x + 15y adalah: 10.800 + 15.0 = 8000 + 0 = 8.000 Sehingga nilai maksimumnya adalah 13.000 JAWABAN: C 7. Seorang peternak ikan hias memiliki 20 kolam untuk memelihara ikan koi dan ikan koki. Setiap kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja sebanyak 36 ekor. Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor. Jika banyak kolam berisi ikan koki adalah x, dan banyak kolam berisi ikan koi y, maka model matematikanya adalah ... a. x + y ≥ 20; 3x + 2y ≤ 50; x ≥ 0; y ≥ 0 b. x + y ≥ 20; 2x + 3y ≤ 50; x ≥ 0; y ≥ 0 c. x + y ≤ 20; 2x + 3y ≤ 50; x ≥ 0; y ≥ 0 d. x + y ≤ 20; 2x + 3y ≥ 50; x ≥ 0; y ≥ 0 e. x + y ≤ 20; 3x + 2y ≥ 50; x ≥ 0; y ≥ 0 PEMBAHASAN: Ikan koki = x Ikan koi = y - 20 kolam untuk memelihara ikan koi dan ikan koki = x + y ≤ 20 - Setiap kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja sebanyak 36 ekor. Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor = 24x + 36y ≤ 600 atau 2x + 3y ≤ 50 - x ≥ 0 - y ≥ 0 JAWABAN: C 8. Sebuah angkutan umum paling banyak dapat memuat 50 penumpang. Tarif untuk seorang pelajar dan mahasiswa berturut-turut adalah Rp1.500,- dan Rp2.500,-. Penghasilan yang diperoleh tidak kurang dari Rp75.000,-. Misal banyak penumpang pelajar dan mahasiswa masing-masing x dan y. Model matematika yang sesuai untuk permasalahan tersebut adalah ... a. x + y ≤ 50; 3x + 5y ≥ 150; x ≥ 0; y ≥ 0 b. x + y ≤ 50; 3x + 5y ≤ 150; x ≥ 0; y ≥ 0 c. x + y ≤ 50; 5x + 3y ≥ 150; x ≥ 0; y ≥ 0 d. x + y ≥ 50; 5x + 3y ≤ 150; x ≥ 0; y ≥ 0 e. x + y ≥ 50; 3x + 5y ≤ 150; x ≥ 0; y ≥ 0 PEMBAHASAN: Pelajar = x Mahasiswa = y - Sebuah angkutan umum paling banyak dapat memuat 50 penumpang = x + y ≤ 50 - Tarif untuk seorang pelajar dan mahasiswa berturut-turut adalah Rp1.500,- dan Rp2.500,-. Penghasilan yang diperoleh tidak kurang dari Rp75.000,- = 1500x + 2500y ≥ 75000 atau 3x + 5y ≥ 150 - x ≥ 0 - x ≥ 0 JAWABAN: A 9. Seorang ibu mempunyai 4 kg tepung terigu dan 2,4 kg mentega, ingin membuat donat dan roti untuk dijual. Satu donat membutuhkan 80gr terigu dan 40gr mentega, dan satu roti membutuhkan 50gr terigu dan 60 gr mentega. Jika ia harus membuat paling sedikit 10 buah donat maka model matematika yang sesuai adalah ... a. 8x + 5y ≥ 400; 2x + 3y ≥ 120; x ≥ 10; y ≥ 0 b. 8x + 5y ≤ 400; 2x + 3y ≤ 120; x ≥ 10; y ≥ 0 c. 8x + 5y ≥ 400; 2x + 3y ≥ 12; x ≥ 0; y ≥ 0 d. 5x + 8y ≥ 400; 3x + 2y ≥ 12; x ≥ 0; y ≥ 0 e. 5x + 8y ≥ 400; 3x + 2y ≤ 12; x ≥ 10; y ≥ 0 PEMBAHASAN: Donat = x Roti = y Soal di atas kakak rangkum dalam tabel berikut: Mari kita ubah tabel di atas menjadi bentuk matematika: - 80x + 50y ≤ 4000 atau 8x + 5y ≤ 400 - 40x + 60y ≤ 2400 atau 2x + 3y ≤ 120 - Jika ia harus membuat paling sedikit 10 buah donat = x ≥ 10 - y ≥ 0 JAWABAN: B 10. Nilai minimal dari z = 3x + 6y yang memenuhi syarat; 4x + y ≥ 20, x + y ≤ 20, x + y ≥ 10, x ≥ 0, dan y ≥ 0 adalah ... a. 50 b. 40 c. 30 d. 20 e. 10 PEMBAHASAN: - 4x + y = 20 Jika x = 0, maka y = 20 ... (0, 20) Jika y = 0, maka x = 5 .... (5, 0) - x + y = 20 jika x = 0, maka y = 20... (0, 20) jika y = 0, maka x = 20 ... (20, 0) - x + y = 10 Jika x = 0, maka y = 10 ... (0, 10) Jika y = 0, maka x = 10 ... (10, 0) Yuk gambar lagi untuk mengetahui HP-nya: - Titik A (0, 20) Maka nilai dari fungsi obyektif z = 3x + 6y adalah: 3.0 + 6.20 = 120 - Titik B adalah titik potong antara 4x + y = 20 dan x + y = 10, maka titik B adalah: 10/3 + y = 10 y = 10 – 10/3 y = 30/3 – 10/3 y = 20/3 ... titik B (10/3, 20/3) Maka nilai dari fungsi obyektif z = 3x + 6y adalah: 3.10/3 + 6.20/3 = 10 + 40 = 50 - Titik C (20, 0) Maka nilai dari fungsi obyektif z = 3x + 6y adalah: 3.20 + 6.0 = 60 - Titik D (10, 0) Maka nilai dari fungsi obyektif z = 3x + 6y adalah: 3.10 + 6.0 = 30 Sehingga, nilai minimalnya adalah 30 JAWABAN: C 11. Disebuah kantin, Ani dan kawan-kawan memayar tidak lebih dari Rp35.000 untuk 4 mangkok bakso dan 6 gelas es yang dipesannya, sedang Adi dan kawan-kawan membayar tidak lebih dari Rp50.000,- untuk 8 mangkok bakso dan 4 gelas es. Jika kita memesan 5 mangkok bakso dan 3 gelas es, maka maksimum yang harus kita bayar adalah ... a. Rp27.500,- b. Rp30.000,- c. Rp32.500,- d. Rp35.000,- e. Rp37.500,- PEMBAHASAN: Harga 1 mangkok bakso = x Harga 1 gelas es = y Kalimat matematika untuk soal di atas adalah: 4x + 6y ≤ 35000 8x + 4y ≤ 50000 x ≥ 0 y ≥ 0 Karena bakso dan gelas tidak mungkin 0, maka kita langsung saja mencari titik potong antara garis 4x + 6y = 35000 dan 8x + 4y = 50000: 8x + 4(2500) = 50.000 8x + 10.000 = 50.000 8x = 40.000 x = 5.000 Maka, harga maksimum untuk 1 mangkok bakso = Rp5.000,- dan harga maksimum untuk 1 gelas es adalah Rp2.500 Jika kita memesan 5 mangkok bakso dan 3 gelas es, maka maksimum yang harus kita bayar adalah: 5(5.000) + 3(2.500) = 25.000 + 7.500 = 32.500 JAWABAN: C 12. Nilai maksimum dari 20x + 8 untuk x dan y yang memenuhi x + y ≥ 20, 2x + y ≤ 48, 0 ≤ x ≤ 20, dan 0 ≤ y ≤ 48 adalah ... a. 408 b. 456 c. 464 d. 480 e. 488 PEMBAHASAN: - x + y = 20 jika x = 0, maka y = 20 ...(0, 20) jika y = 0, maka x = 20... (20, 0) - 2x + y = 48 Jika x = 0, maka y = 48 ... (0, 48) Jika y = 0, maka x = 24 ... (24, 0) - 0 ≤ x ≤ 20 x = 0 dan x = 20 - 0 ≤ y ≤ 48 y = 0 dan y = 48 Gambar dulu, supaya tahu HP-nya: - Titik A (0, 48) Maka nilai fungsi obyektif 20x + 8 adalah: 20(0) + 8 = 8 - Titik B adalah titik potong antara garis x = 20 dan 2x + y = 48, maka titik B adalah: 2(20) + y = 48 40 + y = 48 y = 8 ... titik B (20, 8) Maka nilai fungsi obyektif 20x + 8 adalah: 20(20) + 8 = 408 - Titik C (20, 0) Maka nilai fungsi obyektif 20x + 8 adalah: 20(20) + 8 = 408 - Titik D (0, 20) Maka nilai fungsi obyektif 20x + 8 adalah: 20(0) + 8 = 8 Jadi, nilai maksimumnya adalah 408 JAWABAN: A 13. Perhatikan gambar! Nilai maksimum f(x, y) = 60x + 30y untuk (x, y) pada daerah yang diarsir adalah ... a. 200 b. 180 c. 120 d. 110 e. 80 PEMBAHASAN: Perhatikan gambarnya: - Persamaan garis p adalah: 6x + 3y = 18 atau 2x + y = 6 - Persamaan garis q adalah: 4x + 8y = 32 atau x + 2y = 8 Dari daerah hasil di atas, diketahui titik pojoknya: - Titik A (0, 6) Maka nilai obyektif untuk fungsi f(x, y) = 60x + 30y adalah: 60(0) + 30(6) = 180 - Titik B adalah titik potong antara garis 2x + y = 6 dan 4x + 3y = 12, maka titik B adalah: 2(4/3) + y = 6 y = 6 – 8/3 y = 18/3 – 8/3 y = 10/3 ... titik B (4/3, 10/3) Maka nilai obyektif untuk fungsi f(x, y) = 60x + 30y adalah: 60(4/3) + 30(10/3) = 80 + 100 = 180 - Titik C (0, 4) Maka nilai obyektif untuk fungsi f(x, y) = 60x + 30y adalah: 60(0) + 30(4) = 120 Sehingga nilai maksimumnya adalah 180 JAWABAN: B 14. Seseorang diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Jenis I mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari anak tersebut memerlukan 25 unitvitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet I Rp4.000,- perbiji dan tablet II Rp8.000,- perbiji, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet perhari adalah ... a. Rp12.000,- b. Rp14.000,- c. Rp16.000,- d. Rp18.000,- e. Rp20.000,- PEMBAHASAN: Tablet jenis I = x Tablet jenis II = y Soal di atas kakak rangkum dalam tabel berikut: Kalimat metematika dari tabel di atas adalah: 5x + 10y ≥ 25 3x + y ≥ 5 Fungsi obyektif F(x, y) = 4000x + 8000y Mari kita kerjakan kalimat matematika di atas: - 5x + 10y = 25 Jika x = 0, maka y = 2,5 ... (0, 2,5) Jika y = 0, maka x = 5 ... (5, 0) - 3x + y = 5 Jika x = 0, maka y = 5 ... (0, 5) Jika y = 0, maka x = 5/3 ... (5/3, 0) Selanjutnya kita gambar: - Titik A (0, 5) Maka nilai obyektif fungsi F(x, y) = 4000x + 8000y adalah: 4000(0) + 8000 (5) = 40.000 - Titik B adalah titik potong antara garis 5x + 10y = 25 dan 3x + y = 5, maka titik B adalah: 3(1) + y = 5 y = 5 – 3 y = 2 ... titik B (1, 2) Maka nilai obyektif fungsi F(x, y) = 4000x + 8000y adalah: 4000(1) + 8000 (2) = 4.000 + 16.000 = 20.000 - Titik C (5, 0) Maka nilai obyektif fungsi F(x, y) = 4000x + 8000y adalah: 4000(5) + 8000 (0) = 20.000 Jadi, pengeluaran minimal adalah Rp20.000,- JAWABAN: E 15. Tempat parkir seluas 600 m2 hanya mampu menampung bus dan mobil sebanyak 58 buah. Tiap mobil memerlukan tempat 6 m2 dan bus 24 m2. Biaya parkir tiap mobil Rp5.000,- dan bus Rp7.000,-. Jika tempat parkir penuh, hasil dari biaya parkir paling banyak adalah ... a. Rp197.500,- b. Rp220.000,- c. Rp290.000,- d. Rp325.000,- e. Rp500.000,- PEMBAHASAN: Mobil: x Bus: y Mampu menampung bus dan mobil sebanyak 58 buah = x + y ≤ 58 Tiap mobil memerlukan tempat 6 m2 dan bus 24 m2. Tempat parkir seluas 600 m2 = 6x + 24y ≤ 600 Fungsi obyektif = Biaya parkir tiap mobil Rp5.000,- dan bus Rp7.000,- = 5000x + 7000y Mari kita kerjakan model matematika di atas: - x + y = 58 Jika x = 0,maka y = 58 ... (0, 58) Jika y = 0, maka x = 58 ... (58, 0) - 6x + 24y = 600 Jika x = 0, maka y = 25 ... (0, 25) Jika y = 0, maka x = 100 ...(100, 0) Yuk, kita gambar untuk mengetahui daerah hasilnya: - Titik A (0, 25) Maka nilai obyektif untuk 5000x + 7000y = 5000(0) + 7000(25) = 187.500 - Titik B adalah titik potong antara garis x + y = 58 dan 6x + 24y = 600, maka titik B adalah: 14 + y = 58 y = 44 ... titik B (14, 44) Maka nilai obyektif untuk 5000x + 7000y = 5000(14) + 7000(44) = 220.000 + 105.000 = 325.000 - Titik C (58, 0) Maka nilai obyektif untuk 5000x + 7000y = 5000(58) + 7000(0) = 290.000 Jadi, hasil paling banyak adalah Rp325.000 JAWABAN: D 20. Luas daerah parkir 360 m2. Luas rata-rata sebuah mobil 6 m2 dan luas rata-rata bus 24 m2. Daerah parkir tersebut dapat memuat paling banyak 30 kendaraan roda 4 (mobil dan bus). Jika tarif parkir mobil Rp2.000,- dan bus Rp5.000,- maka pendapatan terbesar yang dapat diperoleh adalah ... a. Rp40.000,- b. Rp50.000,- c. Rp60.000,- d. Rp75.000,- e. Rp90.000,- PEMBAHASAN: Mobil = x Bus = y - Luas daerah parkir 360 m2. Luas rata-rata sebuah mobil 6 m2 dan luas rata-rata bus 24 m2 = 6x + 24y ≤ 360 - Daerah parkir tersebut dapat memuat paling banyak 30 kendaraan roda 4 (mobil dan bus) = x + y ≤ 30 - Fungsi oyektif = 2000x + 5000y Kita kerjakan model matematika di atas: - 6x + 24y = 360 Jika x = 0, maka y = 15 ... (0, 15) Jika y = 0, maka x = 60 ... (60, 0) - x + y = 30 Jika x = 0, maka y = 30 ... (0, 30) Jika y = 0, maka x = 30 ... (30, 0) Yuk, kita gambar untuk mengetahui daerah hasilnya: - titik A (0, 15) maka nilai Fungsi oyektif = 2000x + 5000y = 2000(0) + 5000(15) = 75.000 - titik B perpotongan 6x + 24y = 360 dan x + y = 30, maka titik B; x + 10 = 30 x = 20 ... titik B (20, 10) maka nilai Fungsi oyektif = 2000x + 5000y = 2000(20) + 5000(10) = 40.000 + 50.000 = 90.000 - titik C (30, 0) maka nilai Fungsi oyektif = 2000x + 5000y = 2000(30) + 5000(0) = 60.000 Jadi, pendapatan terbesar adalah 90.000 JAWABAN: E Matriks dalam matematika merupakan kumpulan bilangan, simbol atau ekspresi berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat pada suatu matriks disebut dengan elemen atau disebut juga anggota dari suatu matriks. Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom yaitu sebagai berikut Matriks banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai permasalahan matematika misalnya dalam menemukan solusi masalah persamaan linear, transformasi linear yakni bentuk umum dari fungsi linear contohnya rotasi dalam 3 dimensi. Matriks juga seperti variabel biasa, sehingga matrikspun dapat dimanipulasi misalnya dikalikan, dijumlah, dikurangkan, serta didekomposisikan. Menggunakan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. adversitemens Operasi Dasar Matriks : 1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Penjumlahan serta pengurangan dalam matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks mempunyai ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen dalam suatu matriks yang dijumlahkan atau dikurangan yaitu elemen yang memilki posisi/letak yang sama. representasi dekoratifnya sebagai berikut 2. Perkalian Skalar Perkalian matriks dilakukan dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, selanjutnya dijumlahkan pada kolom yang sama dan maka contoh perhitungan : Ordo suatu matriks merupakan bilangan yang menunjukan banyaknya baris (m) dan banyaknya kolom (n). Sebagai contoh : merupakan matriks berordo 3×2 Matriks Identitas Matriks Identitas adalah matriks yang anggota pada diagonal utamanya selalu 1 Matriks Transpose (At) Matriks transpose merupakan matriks yang mengalami pertukaran elemen dari kolom menjadi baris atau sebaliknya. Contoh : maka matriks transposenya (At) adalah Contoh – contoh : 1. Kesamaan Dua Matriks Tentukan nilai 2x-y+5z! Jawab: maka maka maka 2. 3. Contoh Perkalian matriks dengan variabel 4. Determinan Suatu Matriks Untuk menentukan determinan dari suatu matriks dapat digunakan beberapa cara : 1. Misalnya terdapat matriks yang berordo 2×2 dalam menentukan determinan dari matrikas A yang biasa ditulis |A| adalah 2. Metode Sarrus Misalnya terdapat maka untuk menentukan nilai determinan dari matriks A tersebut Ubah matriks dalam bentuk seperti diatas selanjutnya perhitungannya dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas kekanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h) kemudian dikurangi dengan elemen dari kanan atas kekiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) maka akan menjadi Sebagai contohnya maka tentukan 3. Metode Ekspansi Baris dan Kolom Jika diketahui maka untuk menentukan determian dari matriks P Matriks Singular Matriks Singular yaitu matriks yang nilai determinannya 0. Sebagai contoh Jika A matriks singular, tentukan nilai x! Jawab: vs Invers Matriks Misalnya diketahui maka invers dari matriks A Sifat-sifat dari invers suatu matriks : Persamaan Matriks Tentukan X matriks dari persamaan: • Jika diketahui matriks A.X=B • Jika diketahui matriks X.A=B Contoh soal Jika diketahui terdapat perkalian matriks sebagai berikut Tentukanlah nilai x-y ? Penyelesaian : Persamaan yang didapat dari perkalian matriks diatas yaitu sebagai berikut : 2y+2x = 8 ……………………………….. (1) -y + 4 = 6 ……………………………….. (2) Dari persamaan (2) kita dapat menemukan nilai y seperti berikut ini. -y + 4 = 6 -y = 6 – 4 -y = 2 y = -2 setelah kita temukan nilai y maka kita masukan ke persamaan (1) untuk menemukan nilai x seperti berikut ini. 2y + 2x = 8 2 (-2) + 2x = 8 -4 + 2x = 8 2x = 8 + 4 2x = 12 x = 12/2 x = 6 Maka nilai x = 6 dan y = -2, Sehingga nilai x – y = 6 – (-2) = 8 Soal 2. Jika diketahui dua buah matriks A dan matriks B sebagai berikut. Apabila matriks C = AB maka determinan matriks C adalah ? Penyelesaian : Jelas bahwa C = AB Maka det (C) = 1.0 – (-4)(-3) = 0 – 12 = -12 Cara lain : C = AB det(C) = det(A). det(B) det(C) = (2.3-1.0) . (0-(-2).(-1)) det(C) = 6.(-2) det(C) = -12 Soal 3. Terdapat sebuah matriks A sebagai berikut. Tentukanlah invers dari matriks A diatas ! Penyelesaian : det A = -8 – (-6) = -8 + 6 = -2 Soal 4 Jika A adalah invers dari matriks , maka akan menghasilkan nilai x dan y yang memenuhi 2x + y = ... A. B. C. D. E. Menggunakan sifat matriks Dari soal diketahui A adalah invers dari matriks jadi Jadi nilai 2x + y = 2(-10/3) + 19/3 = -1/3 Soal 5 Jika , maka A. B. C. D. E. Jawab : I adalah matriks identitas sehingga Diperlukan sedikit ketabahan untuk mengalikan matriks beberapa kali Jawaban : A Soal 6 Jika matriks tidak mempunyai invers, maka nilai A. B. C. D. E. Matriks V tidak mempunyai invers berarti det(V) = 0. Dari sifat determinan matriks Nilai det(V) bernilai nol dan matriks pertama di ruas kanan tidak nol, akibatnya matriks ke dua di ruas kanan harus bernilai nol. Misalkan Jadi nilai Jawaban :c Soal 7 Diketahui merupakan matriks singular. Maka A. B. C. D. E. adalah matriks singular maka : Jawaban : D Soal 8 Diketahui matriks . Nilai determinan dari matriks (AB – C) adalah ... a. -7 b. -5 c. 2 d. 3 e. 12 Pembahasan: Det (AB – C) = (12.1) – (9.1) = 12 – 9 = 3 Jawaban: D Soal-soal dan pembahasannya (15 soal) 1. Diketahui matriks . Nilai determinan dari matriks (AB – C) adalah ... a. -7 b. -5 c. 2 d. 3 e. 12 Pembahasan: Det (AB – C) = (12.1) – (9.1) = 12 – 9 = 3 Jawaban: D 2. Diketahui matriks , invers matriks AB adalah ... Pembahasan: Jawaban: A 3. Matriks X yang memenuhi: adalah ... Pembahasan: Jawaban: C 4. Jika maka Det (AB + C) = ... a. -8 b. -6 c. -2 d. 6 e. 8 Pembahasan: Det(AB + C) = (3.14) – (8.6) = 42 – 48 = -6 Jawaban: B 5. Diketahui matriks: Nilai x + y adalah ... a. 2 b. 6 c. 8 d. 10 e. 12 Pembahasan: 2x – 2 = 10 2x = 12 x = 6 9 – 2y = 5 -2y = -4 y = 2 Nilai x + y = 6 + 2 = 8 Jawaban: C 6. Matriks A = mempunyai hubungan dengan matriks B = . Jika matriks C = dan matriks D mempunyai hubungan yang serupa seperti A dengan B, maka matriks C + D adalah ... Pembahasan: Hubungan matriks A dan B adalah Sehingga jika C = dan memiliki hubungan yang sama seperti A dan B dengan D, maka matriks D adalah: Jadi, nilai C + D = + = Jawaban: D 7. Jika matriks tidak mempunyai invers, maka nilai x adalah ... a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e. 2 Pembahasan: Suatu matriks tidak memiliki invers jika determinan matriks tersebut adalah 0 Det (A) = 0 ((2x + 1) 5) – ((6x – 1)3) = 0 10x + 5 – (18x – 3) = 0 10x + 5 – 18x + 3 = 0 -8x + 8 = 0 -8x = -8 x = 1 Jawaban: D 8. At adalah transpose dari A. Jika: maka determinan dari matriks AtB adalah ... a. -196 b. -188 c. 188 d. 196 e. 21 Pembahasan: Det(AtB) = (10.34) – (12.12) = 340 – 144 = 196 Jawaban: D 9. Diketahui matriks-matriks : . Jika matriks C = A.B maka determinan matriks C adalah ... a. -66 b. -98 c. 80 d. 85 e. 98 Pembahasan: Det(C) = (-6.11) – (16.2) = -66 – 32 = -98 Jawaban: B 10. Jika M adalah matriks sehingga: maka determinan matriks M adalah ... a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e. 2 Pembahasan: Det(M) = (1.-1) – (0.1) = -1 – 0 = -1 Jawaban: B 11. Jika maka x + y adalah ... a. – 15/4 b. – 9/4 c. 9/4 d. 15/4 e. 5/4 Pembahasan: 3x – 2 = 7 3x = 9 x = 3 2x + 4y = 3 2 (3) + 4y = 3 6 + 4y = 3 4y = -3 y = - ¾ maka x + y = 3 – ¾ = 12/4 – ¾ = 9/4 Jawaban: C 12. Diketahui matriks maka nilai x + 2xy + y adalah ... a. 8 b. 12 c. 18 d. 20 e. 22 Pembahasan: 3 + x +3 = 8 6 + x = 8 x = 2 5 – 3 – y = -x 2 – y = -2 -y = -4 y = 4 maka nilai x + 2xy + y = 2 + 2.2.4 + 4 = 2 + 16 + 4 = 22 Jawaban: E 13. Jika dan alpha suatu konstanta maka x + y = ... a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e. 2 Pembahasan: x = 1 dan y = 0 Nilai x + y = 1 + 0 = 1 Jawaban: D 14. Nilai p yang memenuhi persamaan matriks adalah ... a. -2 b. -1 c. 0 d. 1 e. 2 Pembahasan: 2 + 2p = -2 2p = -4 p = -2 Jawaban: A 15. Persamaan garis g dan garis h berturut-turut adalah Garis g dan garis h berpotongan di titik A, titik B (p, 1) terletak pada g, dan titik C (2, q) terletak pada garis h. Persamaan garis k yang melalui A dan sejajar BC adalah ... Pembahasan: Garis g = Garis g = y – x = 0 atau –x + y = 0 Garis h = Garis h = x + y – 1 = 0 atau x + y = 1 Garis g dan h berpotongan di titik A, maka koordinat titik A adalah: subtitusikan x = ½ dalam persamaan x + y = 1 x + y = 1 ½ + y = 1 y = ½ titik A ( ½ , ½ ) titik B (p, 1) terletak pada g, maka: –p + 1 = 0 p = 1 titik B (1, 1) titik C (2, q) terletak pada garis h, maka: 2 + q = 1 q = -1 Titik C (2, -1) Persamaan garis BC yang melalui titik B (1, 1) dan C (2, -1) adalah: y – 1 = -2x + 2 2x + y = 3 atau y = – 2x + 3, maka gradien garis BC = -2 Maka, persamaan garis k adalah (m = -2 (karena sejajar dengan BC, melalui titik A ( ½ , ½ ) : y – y1 = m (x – x1) y – ½ = -2 (x – ½ ) y = -2x + 1 + ½ y = -2x + 1 1/2 Jawaban: E Transformasi Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari transformasi yang dapat dilakukan antara lain : 1. Translasi (Pergeseran) 2. Refleksi(Pencerminan) 3. Rotasi(Perputaran) 4. Dilatasi(Penskalaan) Berikut ini ilustrasinya : TRANSLASI / PERGESERAN Berdasarkan gambar di atas, segitiga ABC yang mempunyai koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan: Berdasarkan penjelasan diatas, maka untuk mencari nilai translasi dapat digunakan rumus sebagai berikut : dimana : • a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-) • b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-) Contoh Soal : Soal No. 1 a) Tentukan bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8) b) Tentukan bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi c) Tentukan bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4) Pembahasan Bayangan dari titik A oleh suatu transformasi namakan A’ Dua model yang biasa dipakai sebagai berikut: Hasilnya akan sama saja, hanya sedikit beda cara penulisan, sehingga: a) Bayangan dari titik A (2, 3) oleh translasi T = (7, 8) b) Bayangan dari titik A (5, 10) oleh translasi c) Bayangan dari titik A (1, 2) oleh translasi T = (1, 2) dilanjutkan oleh translasi U = (3, 4) Soal No. 2 Disediakan suatu persamaan garis lurus Y = 3x + 5 Tentukan persamaan garis lurus yang dihasilkan oleh translasi T = (2, 1) Pembahasan Ada beberapa cara diantaranya: Cara pertama: Posisi titik (x, y) oleh translasi T = (2, 1) adalah: x’ = x + 2 → x = x’ – 2 y’ = y + 1 → y = y’ – 1 Masukkan nilai x dan y yang baru ke persamaan asal y = 3x + 5 (y’ – 1 ) = 3(x’ – 2) + 5 Tinggal selesaikan, ubah lambang y’ dan x’ ke y dan x lagi: y – 1 = 3x – 6 + 5 y = 3x – 6 + 5 + 1 y = 3x Cara kedua: Ambil dua buah titik dari persamaan y = 3x + 5 Misal: Titik A, untuk x = 0 → y = 5 dapat titik A (0, 5) Titik B, untuk Y = 0 → x = – 5 /3 dapat titik B (– 5/3 , 0) Translasikan Titik A dan B dengan T = (2,1) A’ (0 + 2, 5 +1) = A’ (2, 6) B’ (-5/3 + 2, 0 + 1) = A’ (1/3, 1) Buat persamaan garis yang melalui kedua titik itu: Cara ketiga Dengan rumus yang sudah jadi atau rumus cepat: ax + by = c Translasi T (p, q) Hasil : ax + by = c + ap + bq Rumus ini untuk bentuk seperti soal di atas, jangan terapkan pada bentuk-bentuk yang lain, nanti salah. y = 3x + 5 atau 3x − y = − 5 oleh T = (2,1) Hasil translasinya adalah: 3x − y = − 5 + (3)(2) + (− 1)(1) 3x − y = − 5 + 6 − 1 3x − y = 0 atau y = 3x REFLEKSI / PENCERMINAN Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan: • terhadap sumbu Y menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-3, 9), B2(-3, 3), C2(-6, 3) • terhadap sumbu X menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(3, -9), B3(3, -3), C3(6, -3) • terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3) Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan: • terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A5B5C5 dengan koordinat A5(-7, 9), B5(-7, 3), C5(-10, 3) • terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A6B6C6 dengan koordinat A6(3, -7), B6(3, -1), C6(6, -1) Segitiga PQR dengan koordinat P(6, 4), Q(6, 1), R(10, 1) dicerminkan: • terhadap garis y = x menjadi segitiga P2Q2R2 dengan koordinat P2(4, 6), Q2(1, 6), R2(1, 10) • terhadap garis y = -x menjadi segitiga P3Q3R3 dengan koordinat P3(-4, -6), Q3(-1, -6), R3(-1, -10) Berdasarkan penjelasan diatas dapat dirumuskan : Pencerminan terhadap garis x = a atau y = b Pencerminan terhadap sumbu x atau sumbu y Pencerminan terhadap titik (0, 0) Pencerminan terhadap garis y = x atau y = –x Pencerminan terhadap garis y = mx + c Jika m = tan θ maka: Contoh Soal : 6.) Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A: a) Terhadap garis x = 10 b) Terhadap garis y = 8 Pembahasan Pencerminan sebuah titik terhadap garis x = h atau y = k a) Terhadap garis x = 10 x = h (a, b) ----------> (2h − a, b) x = h (3, 5) ----------> ( 2(10) − 3, 5) = (17, 5) b) Terhadap garis y = 8 y = k (a, b) ----------> (a, 2k − b) y = k (3, 5) ----------> ( 3, 2(8) − 5) = (3, 11) 7.) Titik A memiliki koordinat (3, 5). Tentukan koordinat hasil pencerminan titik A: a) Terhadap garis y = x b) Terhadap garis y = − x Pembahasan a) Terhadap garis y = x y = x (a, b) ----------> ( b, a) y = x (3, 5) ----------> (5, 3) b) Terhadap garis y = − x y = − x (a, b) ----------> ( − b, − a) y = − x (3, 5) ----------> (− 5, − 3) ROTASI / PERPUTARAN rotasi Matriks perubahan titik perubahan fungsi ½  0 -1 1 -0  (x,y)(-y,x) F(x,y) = 0F(y,-x) = 0  -1 0 1 -1  (x,y) (-x,-y) F(x,y) = 0F(-x,-y) = 0 3/2  0 -1 -1 0  (x,y) (y,-x) F(x,y) = 0 F(-y,x) = 0  cos -sin sin cos  (x,y)  (x cos - y sinq, x sin  + y cos ) F(x,y) = 0 F(x cos  + y sin , -x sin  + y cos ) = 0 Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–) Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+) Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi: • +90° atau –270° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6) • +270° atau –90° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6) • +180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3) Berdasarkan penjelasan diatas, maka rotasi dapat dirumuskan sebagai berikut : Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b) Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0): Contoh Soal : 1.) Vektor diputar terhadap titik asal O sebesar searah jarum jam. Kemudian hasilnya dicerminkan terhadap garis , menghasilkan vektor . Jika , maka matriks = … A. B. C. D. E. Jawab : Matriks tranformasi untuk rotasi dengan pusat rotasi (0, 0) dan sudut putar (searah jarum jam Matriks tranformasi untuk Refleksi terhadap ditransformasi berturut-turut oleh dan menjadi dengan hubungan , sehingga adalah matriks komposisi dari dan Jawaban : B 3.) Titik P (6√2, 10√2) diputar dengan arah berlawanan jarum jam sejauh 45° menghasilkan titik P'. Tentukan koordinat dari titik P'. Pembahasan Rotasi sebuah titik dengan sudut sebesar α Sehingga: Catatan: sudut α positif → berlawanan arah jarum jam sudut α negatif → searah jarum jam DILATASI / PENSKALAAN Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) didilatasi: • dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(1, 3), B2(1, 1), C2(2, 1) • dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(6, 18), B3(6, 6), C3(12, 6) Untuk nilai k negatif, arah bayangan berlawanan dengan arah aslinya. Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan : Dilatasi dengan pusat (a, b) dan faktor skala k Rumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0, 0): KOMPOSISI TRANSFORMASI merupakan gabungan dari beberapa transformasi. Misalnya kita mempunyai transformasi T1 akan dilanjutkan ke T2 maka ditulis T2oT1. Komposisi Khusus : 1. Dua pencerminan yang berurutan terhadap sumbu-sumbu yang sejajar 2. Dua pencerminan yang berurutan terhadap dua sumbu yang tegak lurus ekuivalen dengan rotasi 180º yang pusatnya adalah titik potong kedua sumbu tersebut. 3. Dua pencerminan terhadap dua sumbu yang berpotongan ekuivalen dengan rotasi dimana titik pusat adalah titik potong kedua sumbu dan sudutnya adalah sudut antara kedua sumbu. 4. Dua rotasi berurutan terhadap pusat yang sama ekuivalen dengan rotasi dimana pusatnya sejauh jumlah sudut keduanya. LUAS HASIL TRANSFORMASI Transformasi yang berupa translasi, refleksi, dan rotasi tidak mengubah luas suatu benda Mencari luas segitiga ABC jika diketahui koordinat titik A, B, dan C nya, maka kita dapat gunakan rumus : Perhatikan contoh soal transformasi berikut ini. Tentukanlah persamaan bayangan kurva y = x2 + 3x -4 jika dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian didilatasikan dengan faktor skala 2 dengan pusat dilatasi O(0, 0) Penyelesaian : cara 1 : cara langsung cara 2 : menggunakan matriks 2.) Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu X adalah.... A. x + y − 3 = 0 B. x − y − 3 = 0 C. x + y + 3 = 0 D. 3x + y + 1 = 0 E. x + 3y + 1 = 0 (UN Matematika Tahun 2010 P04) Pembahasan Transformasi oleh matriks dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu x dengan matriksnya Gabungan dua transformasi: Terlihat bahwa y' = − y y = − y' x' = x + 2y x' = x + 2(− y') x' = x − 2y' x = x' + 2y' Jadi: x = x' + 2y' y = − y' Masukkan ke persamaan awal y = x + 1 (− y') = (x' + 2y' ) + 1 x' + 3y' + 1 = 0 Sehingga bayangan kurva yang diminta adalah x + 3y + 1 = 0 3.)Koordinat bayangan titik P(6, 5) jika ditransformasikan oleh matriks dan dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu X adalah.... A. (−11, 6) B. (−6, 11) C. (−5, 11) D. (11, −5) E. (11, −6) Pembahasan Titik A, dengan transformasi matriks akan menghasilkan titik A', yang koordinatnya: Dilanjutkan lagi dengan pencerminan terhadap sumbu X akan menghasilkan titik A'', dimana titik A'' koordinatnya akan menjadi (11, −6), beda tanda minus saja pada ordinat atau y nya. Bisa juga dengan mengalikan memakai matriks pencerminan terhadap sumbu X. Jadi A" koordinatnya adalah (11, −6) 4.) Lingkaran (x − 2)2 + (y + 3)2 = 25 ditransformasikan oleh matriks dilanjutkan oleh matriks maka bayangan lingkaran itu adalah.... A. x2 + y2 + 6x − 4x − 12 = 0 B. x2 + y2 − 6x − 4x − 12 = 0 C. x2 + y2 − 4x − 6x − 12 = 0 D. x2 + y2 + 4x − 6x − 12 = 0 E. x2 + y2 + 4x + 6x − 12 = 0 Pembahasan (x − 2)2 + (y + 3)2 = 25 adalah sebuah lingkaran yang berpusat di titik P (2, − 3) dan berjari-jari r = √25 = 5. Ingat kembali topik persamaaan lingkaran. Setelah diitransformasi, jari-jarinya tidak berubah, tetap r = 5, jadi cukup dengan transformasi titik pusatnya, kemudian dipasang lagi di persamaan umum lingkaran akan diperoleh hasilnya. Titik P (2, − 3) oleh transformasi akan menjadi P': Titik P' ini oleh transformasi kedua akan menjadi P" dengan koordinatnya tetap (3, 2). Kok tidak berubah, karena matriks yang kedua ini adalah matriks identitas, jika untuk mengali hasilnya tetap. Atau dihitung sajalah seperti ini: Pusat lingkaran yang baru diperoleh adalah (3, 2) dengan jari-jari r = 5, hingga persamaan lingkarannya menjadi: Soal-soal dan pembahasan (15 soal) 1. Persamaan bayangan garis y = 2x – 3 karena refleksi terhadap garis y = -x, dilanjutkan refleksi terhadap y = x adalah... a. y + 2x – 3 = 0 b. y – 2x – 3 = 0 c. 2y + x – 3 = 0 d. 2y – x – 3 = 0 e. 2y + x + 3 = 0 PEMBAHASAN: Kalian catat rumusnya ya: - Matriks refleksi terhadap garis y = x adalah: - Matriks refleksi terhadap garis y = -x adalah: Mari kita kerjakan soal di atas: Pada soal di atas diketahui bahwa garis y = 2x – 3 di refleksikan terhadap garis y = -x, berarti T1 = dan dilanjutkan dengan refleksi terhadap y = x berarti T2 = Maka, transformasinya adalah: Jadi, bayangan dari y = 2x – 3 adalah –y = -2x – 3 atau y – 2x - 3 = 0 JAWABAN: B 2. Bayangan kurva y = x + 1 jika ditransformasikan oleh matriks , kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah ... a. x + y – 3 = 0 b. x – y – 3 = 0 c. x + y + 3 = 0 d. 3x + y + 1 = 0 e. x + 3y + 1 = 0 PEMBAHASAN: Di stabillo nih rumusnya dik adik... - matriks pencerminan terhadap sumbu x adalah: - Transformasi T1 lalu dilanjutkan transformasi T2 maka matriks transformasinya adalah T2 o T1 Yuks... kita kerjain: Pada soal diketahui T1 = dan T2 adalah pencerminan terhadap sumbu x, berarti T2 = Sehingga matriks transformasinya: Dari hasil transformasi di atas didapatkan: x’ = x + 2y x = x’ – 2y dan y’ = -y y = -y’ Maka kurva y = x + 1 memiliki bayangan: -y’ = (x’ - 2y) + 1 -y’ = x’ - 2y + 1 -y’ = x’ - 2(-y’) + 1 -y’ = x’ + 2y’ + 1 x’ + 3y’ + 1 = 0 atau x + 3y + 1 = 0 JAWABAN: E 3. Jika transformasi T1, memetakan (x, y) ke (-y, x) dan transformasi T2 menyatakan (x, y) ke (-y, -x) dan jika transformasi T merupakan transformasi T1 yang diikuti oleh transformasi T2, maka matriks T adalah ... PEMBAHASAN: Yuks dicatat rumusnya dik adik: Rotasi +90^0 yang berpusat di titik O(0, 0) memiliki matriks: - T1 merupakan rotasi +90^0 dengan pusat O(0,0) maka matriksnya adalah: - T2 merupakan pencerminan y = -x, maka matriksnya: JAWABAN: C 4. Bayangan kurva y = 3x – 9x^2 jika di rotasi dengan pusat O (0, 0) sejauh 90^0 dilanjutkan dengan dilatasi dengan pusat O (0, 0) dan faktor skala 3 adalah ... a. x = 3y^2 – 3y b. x = y^2 + 3y c. x = 3y^2 + 3y d. y = 3x^2 – 3x e. y = x^2 + 3y PEMBAHASAN: Rumusnya boleh lho dicatat dibuku kalian dek: - Rotasi dengan pusat O(0, 0) sejauh 90^0 memiliki matriks: - Dilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala 3 memiliki matriks: T1 = dan T2 = T2 o T1 = Maka matriks transformasinya adalah: Dari matriks transformasi di atas didapatkan: x’ = -3y, maka y = -1/3 x’ dan y’ = 3x, maka x = 1/3y’ Jadi, bayangan kurva y = 3x – 9x^2 menjadi: y = 3x – 9x^2 -1/3x’ = 3(1/3y’) – 9(1/3y’)^2 -1/3x’ = y’ - y’^2 (hasil perkalian 3) -x’ = 3y’ – 3y’^2 x’ = 3y’^2 – 3y’ (hasil perkalian -) Jadi, bayangannya adalah x = 3y^2 – 3y JAWABAN: A 5. Transformasi T berupa rotasi yang disusul dengan pencerminan terhadap garis y = x. Jika rotasi itu berupa rotasi sebesar 90^0 terhadap pusat koordinat dalam arah transformasi dapat ditulis sebagai... PEMBAHASAN: Yuk diingat lagi rumusnya... Pada soal di atas T1 adalah rotasi 90^0 dengan pusat O (0, 0), makanya matriksnya: Sedangkan T2 adalah pencerminan terhadap garis y = x, makanya memiliki matriks: T2 o T1 = JAWABAN: B 6. Persamaan bayangan garis 2y – 5x – 10 = 0 oleh rotasi (0, 90^0) dilanjutkan refleksi terhadap garis y = -x adalah ... a. 5y + 2x + 10 = 0 b. 5y – 2x – 10 = 0 c. 2y + 5x +10 = 0 d. 2y + 5x – 10 = 0 e. 2y – 5x + 10 = 0 PEMBAHASAN: T1 adalah rotasi dengan pusat O (0, 0), memiliki matriks: T2 adalah refleksi terhadap garis y = -x, memiliki matriks: T2 o T1 = Maka: Dari transformasi di atas, didapatkan: x’ = -x, sehingga x = -x’ y’ = y, sehingga y = y’ Jadi, bayangan garis 2y – 5x – 10 = 0 adalah: 2y – 5x – 10 = 0 2y’ – 5(-x’) – 10 = 0 2y’ + 5x’ – 10 = 0 atau 2y + 5x – 10 = 0 JAWABAN: D 7. Diketahui translasi Titik-titik A’ dan B’ berturut-turut adalah bayangan titik-titik A dan B oleh komposisi transformasi T1 o T2. Jika A(-1, 2), A’(1, 11), dan B’(12, 13) maka koordinat titik B adalah... a. (9, 4) b. (10, 4) c. (14, 4) d. (10, -4) e. (14, -4) PEMBAHASAN: Titik A(-1, 2) memiliki bayangan A’(1, 11) maka: 2 + a = 1 a = -1 dan 4 + b = 11 b = 7 Titik B(x, y) memiliki bayangan B’(12, 13), maka: x = 10 dan y + 9 = 13 y = 4 Jadi, koordinat titik B adalah (10, 4) JAWABAN: B 8. Elips dengan persamaan kemudian diputar 90^0 dengan pusat (-1, 2). Persamaan bayangan elips tersebut adalah ... PEMBAHASAN: Matriks rotasi 90^0 adalah: (x, y) digeser sejauh didapatkan: Sehingga didapatkan: x’ = x – 1 dan y’ = y + 2 Bayangan x dan y diputar 90 derajat dengan pusat (-1, 2), maka: Sehingga didapatkan: x’’ + 1 = -y’ + 2 x’’ + 1 = -(y + 2) + 2 x’’ + 1 = -y y = -x’’ – 1 = -(x’’ + 1) dan y’’ – 2 = x’ + 1 y’’ – 2 = x – 1 + 1 y’’ – 2 = x x = y’’ – 2 Sehingga bayangan dari elips 4x^2 + 9y^2 = 36 adalah: JAWABAN: D 9. Titik P(x, y) ditransformasikan oleh matriks . Bayangannya ditransformasikan oleh matriks . Bayangan titik P adalah ... a. (-x, -y) b. (-x, y) c. (x, -y) d. (-y, x) e. (-y, -x) PEMBAHASAN: Pada soal diketahui: T1 = T2 = Maka transformasi matriksnya: Jadi, bayangan titik P(x, y) adalah: Sehingga didapatkan: x’ = -y, maka y = -x’ y’ = -x, maka x = -y’ Jadi, bayangannya P’(-y’, -x’) JAWABAN: E 10. T1 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks dan T2 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriks . Bayangan A(m, n) oleh transformasi T1 o T2 adalah A’(-9, 7). Nilai m + n adalah ... a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8 PEMBAHASAN: Karena bayangan A’(-9, 7), maka: Sehingga didapatkan persamaan: -x – 3y = -9 .... (i), dan -5x + 11y = 7 ... (ii) Kita eliminasi (i) dan (ii) yuks: Subtitusikan y = 2, dalam persamaan –x – 3y = -9 -x – 3y = -9 -x – 3(2) = -9 -x – 6 = -9 x = 3 Karena titik A(m, n) = (3, 2), maka nilai m + n = 3 + 2 = 5 JAWABAN: B 11. Oleh matriks A = titik P(1,2 ) dan titik Q masing-masing ditransformasikan ke titik P’(2, 3) dan Q’(2, 0). Koordinat titik Q adalah ... a. (1, -1) b. (-1, 1) c. (1, 1) d. (2, -1) e. (1, 0) PEMBAHASAN: Oleh matriks A = titik P(1,2 ) memiliki bayangan P’(2, 3), maka: Sehingga diperoleh: 3a + 2 = 2 3a = 0 a = 0 Karena a = 0, maka matriks A menjadi: Titik Q ditransformasikan oleh matriks A, didapatkan bayangan Q’(2, 0), maka titik Q adalah: Sehingga kita dapatkan: 2x = 2 x = 1 dan x + y = 0 1 + y = 0 y = -1 Maka titik Q adalah (1, -1) JAWABAN: A 12. Garis yang persamaannya x – 2y + 3 = 0 ditransformasikan dengan transformasi yang berkaitan dengan matriks . Persamaan bayangan garis itu adalah ... a. 3x + 2y – 3 = 0 b. 3x - 2y – 3 = 0 c. 3x + 2y + 3 = 0 d. -x + y + 3 = 0 e. x - y + 3 = 0 PEMBAHASAN: Yuks kita cari dulu sembarang titik yang melalui garis x – 2y + 3 = 0 Misalkan x = 1, maka 1 – 2y + 3 = 0 ==> -2y = -4, ==> y = 2 (maka titiknya (1, 2)) Misalkan x = 3, maka 3 – 2y + 3 = 0, ==> -2y = -6 ==> y = 3 (maka titiknya (3, 3)) Selanjutnya kita cari bayangan titik A(1, 2): Bayangan titik A(1, 2) adalah A’(-5, -8) Selanjutnya bayangan titik B(3, 3): Bayangan titik B(3, 3) adalah B’(-6, -9) Selanjutnya kita cari persamaan garis bayangannya, yaitu garis yang melalui titik A’(-5, -8) dan B’(-6, -9). Masih ingatkah kalian rumus mencari persamaan garis yang melalui 2 titik? Yuk untuk mengingatkannya kalian boleh lihat disini: -y – 8 = -x – 5 x – y = -5 + 8 x – y = 3 atau x – y – 3 = 0 atau -x + y + 3 = 0 JAWABAN: D 13. Bayangan titik A(x, y) karena refleksi terhadap garis x = -2 dilanjutkan refleksi terhadap garis y = 3, dan rotasi terhadap pusat O dengan sudut phi/2 radian adalah (-4, 6). Koordinat titik A adalah ... a. (2, -10) b. (2, 10) c. (10, 2) d. (-10, 2) e. (10, 2) PEMBAHASAN: Maka: -(6 – y) = -4 y = -4 + 6 y = 2 dan -4 – x = 6 x = -10 Maka koordinat bayangan A adalah (-10, 2) JAWABAN: D 14. Ditentukan matriks transformasi . Hasil transformasi titik (2, -1) terhadap T1 dilanjutkan T2 adalah ... a. (-4, 3) b. (-3, 4) c. (3, 4) d. (4, 3) e. (3, -4) PEMBAHASAN: Jadi, bayangan titik (2, -1) adalah: Bayangan dari titik itu adalah titik (-4, 3) JAWABAN: A 15. Sebuah lingkaran dengan pusat P(3, 2) dan jari-jari 5 dirotasikan R(0, 90^0) kemudian dicerminkan terhadap sumbu x. Persamaan bayangannya adalah... a. x^2 + y^2 + 4x + 6y – 12 = 0 b. x^2 + y^2 - 4x - 6y – 12 = 0 c. x^2 + y^2 - 4x + 6y – 12 = 0 d. x^2 + y^2 + 6x + 4y – 12 = 0 e. x^2 + y^2 + 6x - 4y – 12 = 0 PEMBAHASAN: Dalam hal ini, lingkaran jika dirotasi atau dicerminkan tidak akan mengubah panjang jari-jarinya. Sehingga, persamaan lingkaran berjari-jari 5 (tidak berubah) dan memiliki titik pusat (-2, -3) adalah: Ingat rumusnya ya dik adik: JAWABAN: A